Question

16．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一個頂點的坐標為（0，-1），且右焦點F到直線x-y+1=0的距離為$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）是否存在斜率為2的直線l，使得當直線l與橢圓C有兩個不同交點M，N時，能在直線$y=\frac{5}{3}$上找到一點P，在橢圓C上找到一點Q，滿足$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{NQ}$？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由b=1，利用點到直線的距離公式，求得a和c的值，求得橢圓方程；
（2）假設存在直線l的方程，代入橢圓方程，由△＞0，求得t取值范圍，利用韋達定理，中點坐標公式，求得D點坐標，由四邊形PMQN為平行四邊形，則D為線段PQ的中點，求得Q的縱坐標，根據(jù)t的取值范圍即可判斷Q不在橢圓上，故直線l的方程不存在．

解答 解：（1）由橢圓的焦點在x軸上，則b=1，F(xiàn)（c，0），
∴$\sqrt{2}=\frac{|c+1|}{{\sqrt{2}}}$，$c=1，\;\;a=\sqrt{2}$，
故橢圓C的標準方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）設直線l的方程為y=2x+t，
設$M（{x_1}，\;\;{y_1}），\;\;N（{x_2}，\;\;{y_2}），P（{{x_3}，\;\;\frac{5}{3}}），\;\;Q（{x_4}，\;\;{y_4}）$，MN的中點為D（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}y=2x+t，\;\;\\{x^2}+2{y^2}=2，\;\;\end{array}\right.$消去x，得9y²-2ty+t²-8=0，
則${y_1}+{y_2}=\frac{2t}{9}$，且△=4t²-36（t²-8）＞0，解得：-3＜t＜3，
故${y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{t}{9}$，
由$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{NQ}$，知四邊形PMQN為平行四邊形，
而D為線段MN的中點，因此D為線段PQ的中點，
∴${y_0}=\frac{{\frac{5}{3}+{y_4}}}{2}=\frac{t}{9}$，
可得${y_4}=\frac{2t-15}{9}$，
又-3＜t＜3，可得$-\frac{7}{3}＜{y_4}＜-1$，
因此點Q不在橢圓上，
故不存在滿足題意的直線l．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，中點坐標公式及判別式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．