Question

4．已知函數(shù)f（x）=-x⁴+ax³+$\frac{1}{2}$bx²的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞）．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）試求當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出a，b的值即可；
（2）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，列出表格，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出在閉區(qū)間上的最大值即可．

解答 解：（1）f'（x）=-4x³+3ax²+bx=-x（4x²-3ax-b），…（2分）
∵函數(shù)f （x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞），
∴方程-x（4x²-3ax-b）=0的根為x₁=0，x₂=$\frac{1}{2}$，x₃=1，…（3分）
即4x²-3ax-b=0的根為x₂=$\frac{1}{2}$，x₃=1，
于是$\frac{3a}{4}$=$\frac{1}{2}$+1，-$\frac{4}$=$\frac{1}{2}$，解得a=2，b=-2，…（5分）
（2）由（1）知，f （x）=-x⁴-2x³+x²，f'（x）=-2x（2x-1）（x-1），

x	（-∞，0）	0	（0，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+	0	-
f （x）	↗	極大值	↘	極小值	↗	極大值	↘

…（7分）
∴f （x）在[0，$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞減，在[$\frac{1}{2}$，1]上單調(diào)遞增，在[1，2]上單調(diào)遞減，
又∵f （0）=0，f （1）=0，
∴f （x）在[0，2]有最大值0．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．