Question

9．已知函數f（x）=ax²+xlnx-1，a∈R，其中e是自然對數的底數．
（1）當a=0時，求函數f（x）的極值；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，5]上為單調函數，求a的取值范圍；
（3）當a=-e時，試判斷方程|f（x）+1|=lnx+$\frac{3}{2}$x是否有實數解，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）當a=0時，求導數，確定函數的單調性，即可求函數f（x）的極值；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，5]上為單調函數，則f′（x）=2ax+lnx+1≥0恒成立，或f′（x）=2ax+lnx+1≤0恒成立，分類討論，分離參數求a的取值范圍；
（3）當a=-e時，分別判斷左右的最值，即可判斷方程|f（x）+1|=lnx+$\frac{3}{2}$x是否有實數解．

解答 解：（1）當a=0時，因為f（x）=xlnx-1，所以f′（x）=lnx+1．
令f′（x）=lnx+1=0，解得x=$\frac{1}{e}$，…（2分）
當x∈（0，$\frac{1}{e}$）時，f′（x）＜0，函數f（x）是單調遞減函數，
當x∈（$\frac{1}{e}$，+∞），f′（x）＞0，函數f（x）是單調遞增函數，
所以當x=$\frac{1}{e}$時，函數f（x）有極小值，即f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$-1．…（3分）
函數f（x）無極大值．   …（4分）
（2）若函數在區(qū)間[1，5]上是單調函數，
則f′（x）=2ax+lnx+1≥0恒成立，或f′（x）=2ax+lnx+1≤0恒成立，…（5分）
當f′（x）=2ax+lnx+1≥0恒成立時，
即2a≥-$\frac{lnx+1}{x}$恒成立，
令h（x）=-$\frac{lnx+1}{x}$，h′（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
當x∈[1，5]，h′（x）＞0，函數h（x）是單調遞增函數，
即a≥-$\frac{ln5+1}{10}$，…（7分）
當f′（x）=2ax+lnx+1≤0恒成立時，即2a≤-$\frac{lnx+1}{x}$，
由上可知2a≤f（1）=-1，即a≤-$\frac{1}{2}$，…（9分）
綜上，a≤-$\frac{1}{2}$或a≥-$\frac{ln5+1}{10}$                          …（10分）
（3）因為f（x）=-ex²+xlnx-1，
所以|f（x）+1|=lnx+$\frac{3}{2}$x，即|-ex+lnx|=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{3}{2}$         …（11分）
令p（x）=-ex+lnx，p′（x）=-e+$\frac{1}{x}$，
令p′（x）=0，即x=$\frac{1}{e}$，
當x∈（0，$\frac{1}{e}$）時，p′（x）＞0，函數p（x）是單調遞增函數，
當x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時，p′（x）＜0，函數p（x）是單調遞減函數，
所以當x=$\frac{1}{e}$時，p（x）取最大值，p（$\frac{1}{e}$）=-1-1=-2＜0，所以|p（x）|＞2…（13分）
令q（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{3}{2}$，q′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令q′（x）=0，即x=e，
當x∈（0，e）時，q′（x）＞0，函數q（x）是單調遞增函數，
當x∈（e，+∞）時，q′（x）＜0，函數q（x）單調遞減函數，
所以當x=e時，q（x）取最大值，q（e）=$\frac{1}{e}$+$\frac{3}{2}$＜2，…（15分）
所以方程|f（x）+1|=lnx+$\frac{3}{2}$x無實根． …（16分）

點評 本題考查導數知識的綜合運用，考查函數的單調性極值，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，難度大．