Question

【題目】設(shè)n是正整數(shù)，r為正有理數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）=（1+x）r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；
（參考數(shù)據(jù)： ．
（2）證明： ；
（3）設(shè)x∈R，記[x]為不小于x的最小整數(shù)，例如 ．令 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得f'（x）=（r+1）（1+x）r﹣（r+1）=（r+1）[（1+x）r﹣1]，

令f'（x）=0，解得x=0．

當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0）內(nèi)是減函數(shù)；

當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．

故函數(shù)f（x）在x=0處，取得最小值為f（0）=0．

（2）

證明：由（1），當(dāng)x∈（﹣1，+∞）時(shí)，有f（x）≥f（0）=0，

即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立，

故當(dāng)x＞﹣1且x≠0，有（1+x）r+1＞1+（r+1）x，①

在①中，令 （這時(shí)x＞﹣1且x≠0），得 ．

上式兩邊同乘nr+1，得（n+1）r+1＞nr+1+nr（r+1），

即 ，②

當(dāng)n＞1時(shí)，在①中令 （這時(shí)x＞﹣1且x≠0），

類似可得 ，③

且當(dāng)n=1時(shí)，③也成立．

綜合②，③得 ，④

（3）

解：在④中，令 ，n分別取值81，82，83，…，125，

得 ， ， ，… ，

將以上各式相加，并整理得 ．

代入數(shù)據(jù)計(jì)算，可得

由[S]的定義，得[S]=211．

【解析】（1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），令f'（x）=0，解得x=0，再求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出最小值為f（0）=0；（2）根據(jù)（1）知，即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，令 代入并化簡(jiǎn)得 ，再令 得， ，即結(jié)論得到證明；（3）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論，令 ，n分別取值81，82，83，…，125，分別列出不等式，再將各式相加得， ，再由參考數(shù)據(jù)和條件進(jìn)行求解．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．