Question

20．已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4，直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)A（1，0）．
（1）若l與圓相切，求l的方程；
（2）若l與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)為M，又l與x+2y+2=0的交點(diǎn)為N，判斷|AM|•|AN|是否為定值，若是，則求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由直線(xiàn)l₁與圓相切，則圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，求得直線(xiàn)方程，注意分類(lèi)討論；
（2）分別聯(lián)立相應(yīng)方程，求得M，N的坐標(biāo)，再求|AM|•|AN|．

解答 解：（1）①當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的斜率為k，則直線(xiàn)方程為：y-0=k（x-1），
即kx-y-k=0．因?yàn)橹本�(xiàn)與圓相切，所以$d=\frac{{|{3k-4-k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，解得$k=\frac{3}{4}$….3
所以直線(xiàn)方程是：3x-4y-3=0．
②當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)為x=1，滿(mǎn)足題意．
綜上可知：直線(xiàn)的方程是3x-4y-3=0或x=1…..6
（2）因?yàn)橹本�(xiàn)與圓相交，所以斜率存在，設(shè)斜率為k，則直線(xiàn)l：y=k（x-1）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-1}）\\ x+2y+2=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2k-2}{1+2k}\\ y=\frac{-3k}{1+2k}\end{array}\right.$所以$N（{\frac{2k-2}{1+2k}，\frac{-3k}{1+2k}}）$…8
因?yàn)镸是PQ的中點(diǎn)，所以CM⊥PQ．設(shè)直線(xiàn)CM的方程：$y-4=-\frac{1}{k}（{x-3}）$
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y-4=-\frac{1}{k}（{x-3}）\\ y=k（{x-1}）\end{array}\right.$得$M（{\frac{{{k^2}+4k+3}}{{{k^2}+1}}，\frac{{4{k^2}+2k}}{{{k^2}+1}}}）$．…10
所以$\overrightarrow{AM}=（{\frac{4k+2}{{{k^2}+1}}，\frac{{4{k^2}+2k}}{{{k^2}+1}}}），\overrightarrow{AN}=（{\frac{-3}{1+2k}，\frac{-3k}{1+2k}}）$
所以$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=-6$，因?yàn)?\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=-|{AM}|•|{AN}|$$|{AM}|•|{AN}|=-\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=6$….12

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．