Question

16．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象與直線y=$\sqrt{3}$的三個相鄰的交點分別為A（$\frac{π}{6}$，$\sqrt{3}$）、B（π，$\sqrt{3}$）、C（$\frac{7π}{6}$，$\sqrt{3}$）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=[f（x）]²+[f（x+$\frac{π}{3}$）]²，x∈[0，$\frac{π}{3}$]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意和周期公式求出函數(shù)周期、ω的值，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的對稱軸，由對稱軸方程求出φ的值，把（$\frac{π}{6}$，$\sqrt{3}$）代入求出A，即可得到函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和兩角和差的正弦公式化簡g（x），由x的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出g（x）的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）由題意得函數(shù)f（x）的周期T=$\frac{7π}{6}-\frac{π}{6}=π$，
所以$\frac{2π}{ω}=π$，得ω=2，…（2分）
易知x=$\frac{\frac{π}{6}+π}{2}$=$\frac{7π}{12}$是f（x）圖象的一條對稱軸，
所以$2×\frac{7π}{12}+φ=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，則$φ=-\frac{2π}{3}+kπ（k∈Z）$，…（4分）
因為0＜φ＜$\frac{π}{2}$，所以φ=$\frac{π}{3}$，則f（x）=A$sin（2x+\frac{π}{3}）$，
因為f（x）過（$\frac{π}{6}$，$\sqrt{3}$），所以A$sin（2×\frac{π}{6}+\frac{π}{3}）$=$\sqrt{3}$，得A=2，…（6分）
所以函數(shù)f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{3}）$．…（7分）
（Ⅱ）由（I）得，g（x）=[f（x）]²+[f（x+$\frac{π}{3}$）]²
=$4si{n}^{2}（2x+\frac{π}{3}）+2si{n}^{2}（2x+π）$=2[1-cos（4x+$\frac{2π}{3}$）+1-cos4x]
=2[2+$\frac{\sqrt{3}}{2}sin4x-\frac{1}{2}cos4x$]=$4+2sin（4x-\frac{π}{6}）$  …（10分）
因為$0≤x≤\frac{π}{3}$，所以$-\frac{π}{6}≤4x-\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，則$-\frac{1}{2}≤sin（4x-\frac{π}{6}）≤1$，…（12分）
所以當$sin（4x-\frac{π}{6}）=1$，g（x）_max=6，
當$sin（4x-\frac{π}{6}）=-\frac{1}{2}$時，g（x）_min=3．…（14分）

點評 本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象解析式的確定，兩角和差的正弦公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．