Question

6．如圖，已知ABCDEF是正六邊形，GA、ND都垂直于平面ABCDEF，平面FGN交線段DE于點R，點M是CD的中點，AB=DN=1，AG=2．
（1）求證：AM∥平面GFRN；
（2）求二面角A-GF-N的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，直線AF，AC，AG分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用和向量法能證明AM∥平面GFRN．
（2）求出平面FRNG的法向量和平面AGF的法向量，利用向量法能求出二面角A-GF-N的余弦值．

解答 證明：（1）由正六邊形的性質(zhì)得AF⊥AC
以A為原點，直線AF，AC，AG分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則C（0，$\sqrt{3}$，0），D（-1，$\sqrt{3}$，0），N（-1，$\sqrt{3}$，1），
F（-1，0，0），G（0，0，2），M（-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{FG}$=（1，0，2），$\overrightarrow{FN}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
設(shè)平面FRNG的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{FG}•\overrightarrow{n}=x+2z=0}\\{\overrightarrow{FN}•\overrightarrow{n}=\sqrt{3}y+z=0}\end{array}\right.$，取x=6，得$\overrightarrow{n}$=（6，$\sqrt{3}，-3$），
∵$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}$=6×$（-\frac{1}{2}）+\sqrt{3}×\sqrt{3}+0×（-3）=0$，
∴$\overrightarrow{AM}$⊥$\overrightarrow{n}$，
∵AM?平面FRNG，
∴AM∥平面GFRN．
解：（2）由（1）得平面FRNG的法向量$\overrightarrow{n}$=（6，$\sqrt{3}$，-3），
平面AGF的一個法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{36+3+9}}$=$\frac{1}{4}$，
由圖形知二面角A-GF-N的平面角為鈍角，
∴二面角A-GF-N的余弦值為-$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．