Question

9．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中點，且PA=AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）N是棱AB上一點，且三棱錐A-MNC的體積等于四棱錐P-ABCD體積的$\frac{1}{12}$，求$\frac{AN}{NB}$的值．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABCD得PA⊥CD，由勾股定理的逆定理得AC⊥BC，故CD⊥平面PAC．
（2）設(shè)AN=x，求出三棱錐A-MNC和四棱錐P-ABCD的體積，利用體積比得出x，從而求出$\frac{AN}{NB}$的值．

解答 （1）證明：∵AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$，
∴AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC．
∵底面ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，∴AC⊥CD．
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，又PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
∴CD⊥平面PAC．
（2）解：設(shè)AN=x，則S_△ANC=$\frac{1}{2}AN•AC=x$，
∵M是PD的中點，∴M到平面ABCD的距離h=$\frac{1}{2}PA$=1．
∴V=_A-MNC=V_M-ANC=$\frac{1}{3}{S}_{△ANC}•h$=$\frac{x}{3}$．
∵V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{四邊形ABCD}•PA$=$\frac{1}{3}×2×2×2$=$\frac{8}{3}$．
∵三棱錐A-MNC的體積等于四棱錐P-ABCD體積的$\frac{1}{12}$，
∴$\frac{x}{3}=\frac{8}{3}×\frac{1}{12}$，∴x=$\frac{2}{3}$．即AN=$\frac{2}{3}$．
∴BN=AB-AN=$\frac{4}{3}$．
∴$\frac{AN}{NB}=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．