Question

設(shè)函數(shù).
（1）若x＝時，取得極值，求的值；
（2）若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求的取值范圍；
（3）設(shè)，當=－1時，證明在其定義域內(nèi)恒成立，并證明（）．

Answer 1

（1）．（2）.    
（3）轉(zhuǎn)化成.所以.通過“放縮”，“裂項求和”。

試題分析：，
（1）因為時，取得極值，所以，
即   故．                       3分
（2）的定義域為，
要使在定義域內(nèi)為增函數(shù),
只需在內(nèi)有恒成立,
即在恒成立，         5分
又         7分
，
因此，若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，則的取值范圍是.     9分
（3）證明：，
當=－1時，，其定義域是，
令，得.
則在處取得極大值，也是最大值.
而.所以在上恒成立.因此.
因為，所以.
則.
所以
=<
==.
所以結(jié)論成立.                                 13分
點評：難題，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，是導數(shù)應(yīng)用的基本問題，主要依據(jù)“在給定區(qū)間，導函數(shù)值非負，函數(shù)為增函數(shù)；導函數(shù)值非正，函數(shù)為減函數(shù)”。確定函數(shù)的極值，遵循“求導數(shù)，求駐點，研究單調(diào)性，求極值”。不等式恒成立問題，往往通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的最值，使問題得到解決。本題不等式證明過程中，利用“放縮法”，轉(zhuǎn)化成易于求和的數(shù)列，體現(xiàn)解題的靈活性。