Question

近年來，我國許多城市霧霾現(xiàn)象頻發(fā)，PM2.5（即環(huán)境空氣中空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物）是衡量空氣質(zhì)量的一項(xiàng)指標(biāo)．據(jù)相關(guān)規(guī)定，PM2.5日均濃度值不超過35微克/立方米空氣質(zhì)量為優(yōu)，在35微克/立方米至75微克/立方米之間的空氣質(zhì)量為良，某市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一居民區(qū)今年上半年中30天的PM2.5日均濃度監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

組別	PM2.5日均濃度（微克/立方米）	頻數(shù)（天）
第一組	（15，35]	3
第二組	（35，55]	9
第三組	（55，75]	12
第四組	（75，95]	6

（1）估計(jì)該樣本的中位數(shù)和平均數(shù)；
（2）將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體，對(duì)于今年上半年中的某3天，記這3天中該居民區(qū)空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的天數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù),極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表，利用中位數(shù)求法和平均數(shù)公式能求出中位數(shù)和平均數(shù)．
（2）由已知得X～N(3，

4

5

)，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX．

解答： 解：（1）由已知得中位數(shù)為：55+20×

3

12

=60
平均數(shù)為：25×0.1+45×0.3+65×0.4+85×0.2=59
（2）∵上半年中某一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的概率為

3+9+12

30

=

4

5

，
∴X～N(3，

4

5

)
∴P(X=0)=

C

0 3

(

1

5

)3=

1

125

，
P(X=1)=

C

1 3

(

4

5

)1(

1

5

)2=

12

125

，
P(X=2)=

C

2 3

(

4

5

)2(

1

5

)1=

48

125

，
P(X=3)=

C

3 3

(

4

5

)3=

64

125

X	0	1	2	3
P	1 125	12 125	48 125	64 125

∴X的分布列為X的數(shù)學(xué)期望EX=3×

4

5

=2.8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查中位數(shù)和平均數(shù)的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．