Question

6．已知函數(shù)f（x）=|2x-3|-|x+1|．
（1）若不等式f（x）≤a的解集是空集，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若存在x₀∈R，使得2f（x₀）≤-t²+4|t|成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，求出各個區(qū)間上的函數(shù)的最小值，求出f（x）的最小值，求出a的范圍即可；
（2）求出f（x）的最小值，問題轉(zhuǎn)化為-t²+4|t|+5≥0，求出t的范圍即可．

解答 解：（1）x≥$\frac{3}{2}$時，f（x）=2x-3-x-1=x-4，
此時，f（x）的最小值是f（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{5}{2}$，
-1≤x≤$\frac{3}{2}$時，f（x）=3-2x-x-1=-3x+2，
此時，f（x）的最小值是f（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{5}{2}$，
x≤-1時，f（x）=3-2x+x+1=-x+4，
此時，f（x）的最小值是f（-1）=5，
綜上，f（x）的最小值是-$\frac{5}{2}$，
若不等式f（x）≤a的解集是空集，
則a＜-$\frac{5}{2}$；
（2）若存在x₀∈R，使得2f（x₀）≤-t²+4|t|成立，
只需求出f（x）的最小值，由（1）f（x）的最小值是-$\frac{5}{2}$，
問題轉(zhuǎn)化為-t²+4|t|+5≥0，
即t²-4|t|-5≤0，即（|t|-5）（|t|+1）≤0，
解得：-5≤t≤5．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．