Question

3．對于復數(shù)z=a+bi（a、b∈R，i為虛數(shù)單位），定義‖z‖=|a|+|b|，給出下列命題：
①對任何復數(shù)，都有‖z‖≥0，等號成立的充要條件是z=0；
②‖z‖=‖$\overline{z}$‖；③‖z₁‖=‖z₂‖，則z₁=±z₂；
④對任何復數(shù)z₁，z₂，z₃，不等式‖z₁-z₃‖≤‖z₁-z₂‖+‖z₂-z₃‖恒成立，
其中真命題的個數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 在①中，當z=0時，‖z‖=0；反之，當‖z‖=0時，z=0；在②中，z=a+bi，$\overline{z}$=a-bi，從而‖z‖=‖$\overline{z}$‖=|a|+|b|；在③中，當z₁=2+3i，z₂=3+2i時，不成立；④由絕對值的性質(zhì)得到‖z₁-z₃‖≤‖z₁-z₂‖+‖z₂-z₃‖恒成立．

解答 解：由復數(shù)z=a+bi（a、b∈R，i為虛數(shù)單位），定義‖z‖=|a|+|b|，知：
在①中，對任何復數(shù)，都有‖z‖≥0，
當z=0時，‖z‖=0；反之，當‖z‖=0時，z=0，
∴等號成立的充要條件是z=0，故①成立；
在②中，∵z=a+bi，$\overline{z}$=a-bi，∴‖z‖=‖$\overline{z}$‖=|a|+|b|，故②成立；
在③中，當z₁=2+3i，z₂=3+2i時，‖z₁‖=‖z₂‖，但z₁≠±z₂，故③錯誤；
④對任何復數(shù)z₁，z₂，z₃，
設z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，z₃=a₃+b₃i，
則‖z₁-z₃‖=|a₁-a₃|+|b₁-b₃|，
‖z₁-z₂‖+‖z₂-z₃‖=|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+|b₁-b₂|+|b₂-b₃|，
|a₁-a₃|≤|a₁-a₂|+|a₂-a₃|，
|b₁-b₃|≤|b₁-b₂|+|b₂-b₃|，
∴‖z₁-z₃‖≤‖z₁-z₂‖+‖z₂-z₃‖恒成立．故④成立．
故選：C．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意絕對值性質(zhì)、復數(shù)概念及性質(zhì)的合理運用．