Question

6．已知點H在圓D：（x-2）²+（y+3）²=32上運動，點P的坐標為（-6，3），線段PH的中點為M．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）平面內是否存在定點A（a，b）（a≠0），使|MO|=λ|MA|（λ≠1常數），若存在，求出A的坐標及λ的值；若不存在，說明理由；
（3）若直線y=kx與M的軌跡交于B、C兩點，點N（0，t）使NB⊥NC，求實數t的范圍．

Answer 1

分析 （1）利用代入法求點M的軌跡方程；
（2）求出λ²=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{（x-a）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{4（1-x）}{4+{a}^{2}-（2a+4）x}$，可得結論；
（3）利用韋達定理及向量垂直的結論，即可求t的范圍．

解答 解：（1）設點M（x，y），則H（2x+6，2y-3），
又H在圓上，得（2x+6-2）²+（2y-3+3）²=32，化簡得（x+2）²+y²=8；
（2）設M的軌跡交y軸于E、F，由$\frac{|EO|}{|EA|}=\frac{|FO|}{|FA|}$且|EO|=|FO|知，|EA|=|FA|，
所以A在x軸上，設M（x，y），
則λ²=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{（x-a）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{4（1-x）}{4+{a}^{2}-（2a+4）x}$，
所以4+a²=2a+4，a=2或0（舍），即A（2，0），$λ=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）由直線y=kx與（x+2）²+y²=8，消去y得（1+k²）x²+4x-4=0，
∴x₁+x₂=x₁x₂=-$\frac{4}{1+{k}^{2}}$，
又 0=$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{CN}$=（1+k²）x₁x₂-kt（x₁+x₂）+t²，
∴$\frac{4-{t}^{2}}{4t}$=$\frac{k}{1+{k}^{2}}$∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
∴t$∈[-\sqrt{5}-1，-\sqrt{5}+1]∪[\sqrt{5}-1，\sqrt{5}+1]$．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．