Question

4．（1）求證：$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$＜2$\sqrt{5}$．
（2）設a，b，c∈（0，+∞），求證：三個數中a+$\frac{1}$，c+$\frac{1}{a}$，b+$\frac{1}{c}$至少有一個不小于2．

Answer 1

分析 （1）直接法不易求證，可用分析法進行證明．
（2）假設a+$\frac{1}$，c+$\frac{1}{a}$，b+$\frac{1}{c}$都小于2，相加可得 a+$\frac{1}$+c+$\frac{1}{a}$+b+$\frac{1}{c}$＜6．再結合基本不等式，引出矛盾，即可得出結論．

解答 證明：（1）∵$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$和2$\sqrt{5}$都是正數，
若證$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$＜2$\sqrt{5}$
只需證：（$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$）²＜（2$\sqrt{5}$）²，
整理得：$\sqrt{21}$＜5，
即證：21＜25，
∵21＜25當然成立，
∴原不等式成立…（6分）
（2）證明：假設a+$\frac{1}$，c+$\frac{1}{a}$，b+$\frac{1}{c}$三個數都小于2
即 a+$\frac{1}$+c+$\frac{1}{a}$+b+$\frac{1}{c}$＜6．
∵a，b，c∈（0，+∞），∴a+$\frac{1}{a}$≥2  b+$\frac{1}$≥2  c+$\frac{1}{c}$≥2
∴a+$\frac{1}$+c+$\frac{1}{a}$+b+$\frac{1}{c}$≥6，矛盾
說明假設是錯誤的，原命題成立…（12分）

點評 用反證法證明數學命題的方法和步驟，把要證的結論進行否定，得到要證的結論的反面，是解題的突破口，屬于中檔題．