Question

已知方向向量為

e

=(1，

3

)的直線l過點A(0，-2

3

)和橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點，且橢圓C的中心O和橢圓的右準線上的點B滿足：

OB

•

e

=0，|

AB

|=|

AO

|．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設E為橢圓C上任一點，過焦點F₁，F(xiàn)₂的弦分別為ES，ET，設

EF1

=λ1

F1S

，

EF2

=λ2

F2T

，求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）由直線過定點即直線的方向向量求得直線方程，求出橢圓焦點坐標，再由

OB

•

e

=0，|

AB

|=|

AO

|可知點O和點B關于直線l對稱，求出B點橫坐標，代入橢圓的右準線方程即可求得a²，b²的值，則橢圓方程可求；
（2）設出E（x₀，y₀），S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），由E在橢圓上得到則有x02+3y02=6，然后結合

EF1

=λ1

F1S

把S的縱坐標用E的縱坐標表示，同理把T的縱坐標用E的縱坐標表示，則λ₁+λ₂的值可求．

解答： 解：（1）由題意知直線l的方程為y=

3

x-2

3

  ①，
令y=0，得x=2，
∴橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點坐標為（2，0），
∴c=2，且a²-b²=4，
由

OB

•

e

=0，|

AB

|=|

AO

|可知點O和點B關于直線l對稱，又過原點且垂直于l的直線方程為y=-

3

3

x  ②，
聯(lián)立①②得x=

3

2

．
∵（0，0）關于直線l的對稱點在橢圓的右準線上，
∴

a2

c

=2×

3

2

=3，
∴c=2，a²=6，b²=2，
則橢圓方程為

x2

6

+

y2

2

=1；
（2）設E（x₀，y₀），S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），
則有x02+3y02=6，
當x₀≠±2時，直線ES的方程為：y=

y0

x0+2

(x+2)，
∴有x=

(x0+2)y-2y0

y0

，
代入

x2

6

+

y2

2

=1中消去x，得(5+2x0)y2-2(x0+2)y0y-y02=0
∴y0y1=-

y02

5+2x0

，y1=-

y0

5+2x0

，
∵

EF1

=λ1

F1S

，
∴y₀+λ₁y₁=0，λ1=

-y0

y

=5+2x0，
同理λ₂=5-2x₀，
∴λ₁+λ₂=10；
當x₀=±2時，驗證λ₁+λ₂=10成立，
∴λ₁+λ₂=10．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了平面向量在解決圓錐曲線問題中的應用，考查了學生的靈活運算能力，是中檔題．