（2012•泉州模擬）將邊長為1的正三角形ABC按如圖所示的方式放置，其中頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合．記邊AB所在直線的傾斜角為θ，已知θ∈[0，
π
3
]．
（Ⅰ）試用θ表示
BC
的坐標(biāo)（要求將結(jié)果化簡為形如（cosα，sinα）的形式）；
（Ⅱ）定義：對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2，y2），稱|x1-x2|+|y1-y2|為P、Q兩點(diǎn)間的“taxi距離”，并用符號|PQ|表示．試求|BC|的最大值．
分析：（Ⅰ）解法一：由B（cosθ，sinθ），C（cos（θ+
π
3
），sin（θ+
π
3
））可求得
BC
的坐標(biāo)，利用兩角和與差的三角函數(shù)公式即可求得
BC
．
解法二：由直線AD的傾斜角為
2π
3
+θ，
BC
=
AD
，利用三角函數(shù)的定義可求得D點(diǎn)的坐標(biāo)為：D（cos（θ+
2π
3
），sin（θ+
2π
3
）），即
BC
的坐標(biāo)；
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）解法二可知|BC|=|cos（θ+
2π
3
）|+|sin（θ+
2π
3
））|，而θ∈[0，
π
3
]，可求得θ+
2π
3
∈[
2π
3
，π]，從而可得|BC|=-cos（θ+
2π
3
）+sin（θ+
2π
3
），整理可得|BC|=
2
sin（θ+
5π
12
），繼而可得答案；
解法二：由（Ⅰ）解法一可知|BC|=|cos（θ+
π
3
）-cosθ|+|sin（θ+
π
3
）-sinθ|，由0≤θ≤
π
3
，可得0＜θ+
π
3
＜π，從而|cos(θ+
π
3
)-cosθ|=cosθ-cos（θ+
π
3
），同理|sin(θ+
π
3
)-sinθ|=sin（θ+
π
3
）-sinθ，于是|BC|=sin（θ+
π
3
）+cos（θ+
π
3
），再利用輔助角公式即可得答案．
解答：解：（Ⅰ）解法一：因?yàn)锽（cosθ，sinθ），C（cos（θ+
π
3
），sin（θ+
π
3
）），…（2分）
所以
BC
=（cos（θ+
π
3
）-cosθ，sin（θ+
π
3
）-sinθ），…（3分）
=（-
3
2
sinθ-
1
2
cosθ，
3
2
cosθ-
1
2
sinθ）
=（cos（θ+
2π
3
），sin（θ+
2π
3
））．…（7分）
解法二：平移
BC
到
AD
（B移到A，C移到D），…（2分）
由
BC
的坐標(biāo)與
AD
的坐標(biāo)相等，都等于點(diǎn)D的坐標(biāo)．…（3分）
由平幾知識易得直線AD的傾斜角為
2π
3
+θ，
∵
|AD|
=1，
∴根據(jù)三角函數(shù)的定義可得D（cos（θ+
2π
3
），sin（θ+
2π
3
）），
所以
BC
=（cos（θ+
2π
3
），sin（θ+
2π
3
））．…（7分）
（Ⅱ）解法一：
|BC|=|cos（θ+
2π
3
）|+|sin（θ+
2π
3
））|，…（8分）
∵θ∈[0，
π
3
]，
∴θ+
2π
3
∈[
2π
3
，π]，…（9分）
∴|BC|=-cos（θ+
2π
3
）+sin（θ+
2π
3
）…（11分）
=
2
sin（θ+
5π
12
），…（12分）
所以當(dāng)θ=
π
12
時(shí)，|BC|取得最大值
2
．…（13分）
解法二：|BC|=|cos（θ+
π
3
）-cosθ|+|sin（θ+
π
3
）-sinθ|，…（8分）
∵0≤θ≤
π
3
，
∴
π
3
≤θ+
π
3
≤
2π
3
＜π，即0≤θ＜θ+
π
3
＜π，
∴|cos(θ+
π
3
)-cosθ|=cosθ-cos（θ+
π
3
）．…（9分）
∵0≤θ≤
π
3
，
∴
π
2
-θ≥（θ+
π
3
）-
π
2
，
∴|sin(θ+
π
3
)-sinθ|=sin（θ+
π
3
）-sinθ，…10分
|BC|=cosθ-cos（θ+
π
3
）+sin（θ+
π
3
）-sinθ
=sin（θ+
π
3
）+cos（θ+
π
3
）
=
2
sin（θ+
5π
12
），…（12分）
所以當(dāng)θ=
π
12
，|BC|取得最大值
2
．…（13分）
點(diǎn)評：本小題主要考查三角函數(shù)的定義、兩角和與差的三角函數(shù)公式、平面向量等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，綜合性強(qiáng)，屬于難題．
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12
的下方，求a的取值范圍；
（Ⅲ）記f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)．若a=1，試問：在區(qū)間[1，10]上是否存在k（k＜100）個(gè)正數(shù)x1，x2，x3…xk，使得f′（x1）+f'（x2）+f′（x3）+…+f′（xk）≥2012成立？請證明你的結(jié)論．

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1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)=（　�。�

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