Question

已知函數(shù)．若f（x）≥lnx+m-1在[1，+∞）上恒成立，
（1）求m取值范圍；
（2）證明：2ln2+3ln3+…+nlnn（n∈N^*）．

Answer 1

解：（1）由題意，令在x∈[1，+∞）上恒成立
…4分
當(dāng)時，即m≥1時g′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，∴g（x）在其上遞減．
∵g_max=g（1）≤0
∴原式成立．
當(dāng)，即0＜m＜1時，∵
∴不能恒成立．
綜上：m≥1…9分
（2）證明：取m=1，則lnx，∴
令x=n，∴
∴
∵
∴2ln2+3ln3+…+nlnn，原不等式成立…12分
分析：（1）由題意，令在x∈[1，+∞）上恒成立，求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可確定m取值范圍；
（2）取m=1，則lnx，令x=n，可得，累加并化簡可得結(jié)論．
點評：本題考查恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查不等式的證明，正確求導(dǎo)，合理取值是關(guān)鍵．