Question

12．已知A，B，C，D均在球O的球面上，AB=BC=1，AC=$\sqrt{3}$，若三棱錐D-ABC體積的最大值是$\frac{1}{4}$．則球O的表面積為（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$π
• B． $\frac{8}{3}$π
• C． $\frac{16}{3}$π
• D． 6π

Answer 1

分析 設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，由已知求出r=1，由已知得D到平面ABC的最大距離為$\sqrt{3}$，設(shè)球O的半徑為R，則${1}^{2}=\sqrt{3}（2R-\sqrt{3}）$，由此能求出R，從而能求出球O的表面積．

解答 解：設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，
∵AB=BC=1，AC=$\sqrt{3}$，∴∠ABC=120°，
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×1×1×sin120°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴2r=$\frac{\sqrt{3}}{sin120°}$=2，解得r=1，
∵三棱錐D-ABC體積的最大值是$\frac{1}{4}$，A，B，C，D均在球O的球面上，
∴D到平面ABC的最大距離為$\sqrt{3}$，
設(shè)球O的半徑為R，則${1}^{2}=\sqrt{3}（2R-\sqrt{3}）$，
解得R=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴球O的表面積為S=4πR²=$\frac{16}{3}π$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的表面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)和球的性質(zhì)的合理運(yùn)用．