Question

1．如圖，已知|AB|=10，圖中的一系列圓是圓心分別為A、B的兩組同心圓，每組同心圓的半徑分別是1，2，3，…，n，…．利用這兩組同心圓可以畫出以A、B為焦點(diǎn)的橢圓或雙曲線．若其中經(jīng)過(guò)點(diǎn)M、N的橢圓的離心率分別是e_M，e_N，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，Q的雙曲線的離心率分別是e_P，e_Q，則它們的大小關(guān)系是（　　）

• A． e_M＜e_N＜e_Q＜e_P
• B． e_N＜e_M＜e_P＜e_Q
• C． e_P＜e_Q＜e_M＜e_N
• D． e_Q＜e_N＜e_M＜e_P

Answer 1

分析 由題意可知：所有的雙曲線的焦距一定為|AB|=10，即2c=10，c=5，由橢圓的定義分別求出e_M，e_N，由雙曲線的定義，分別求出e_P，e_Q，由此能比較e_M，e_N，e_P，e_Q的大小關(guān)系．

解答 解：由題意可知：所有的雙曲線的焦距一定為|AB|=10，即2c=10，c=5，
由橢圓的定義：
對(duì)過(guò)M點(diǎn)的橢圓：|PA|+|PB|=2a=3+10=13，
∴a=$\frac{13}{2}$，${e}_{M}=\frac{5}{\frac{13}{2}}$=$\frac{10}{13}$，
對(duì)過(guò)N點(diǎn)的橢圓：|PA|+|PB|=2a=5+7=12，
∴a=6，${e}_{N}=\frac{5}{6}$．
由雙曲線的定義：
對(duì)過(guò)P點(diǎn)的雙曲線：||PA|-|PB||=2a=|7-3|=4，
∴a=2，e_P=$\frac{5}{2}$，
對(duì)過(guò)Q點(diǎn)的雙曲線：||PA|-|PB||=2a=|3-8|=5，
∴a=$\frac{5}{2}$，${e}_{Q}=\frac{5}{\frac{5}{2}}$=2，
∴e_M＜e_N＜e_Q＜e_P．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線和橢圓的離心率的大小關(guān)系的比較，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓、雙曲線的性質(zhì)的合理運(yùn)用．