Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=-cos²x-4t•sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+2t²-6t+2（x∈R），其中t∈R，將f（x）的最小值記為g（t）
 （1）求g（t）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)-1＜t＜1時(shí)，要使關(guān)于t的方程g（t）=kt有且僅有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)f（x）=（sinx-t）²+t²-6t+1，分t＜-1、-1≤t≤1、t＞1三類討論，可分別求得f（x）的最小值g（t），從而可得g（t）的表達(dá)式；
（2）依題意知，關(guān)于t的方程 t²-6t+1-kt=0 在（-1，1）內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根．分①當(dāng)△=（6+k）²-4=0時(shí)，應(yīng)有-1＜$\frac{6+k}{2}$＜1，與②當(dāng)△=（6+k）²-4＞0時(shí)，應(yīng)有（k+8）（-k-4）＜0，從而可得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=-cos²x-4t•sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+2t²-6t+2
=sin²x-2t•sinx+2t²-6t+1=（sinx-t）²+t²-6t+1，
當(dāng)t＜-1時(shí)，則當(dāng)sinx=-1時(shí)，f（x）取得最小值g（t）=（-1-t）²+t²-6t+1=2t²-4t+2．
當(dāng)-1≤t≤1時(shí)，則當(dāng)sinx=t時(shí)，f（x）的最小值g（t）=t²-6t+1．
當(dāng)t＞1時(shí)，則當(dāng)sinx=1時(shí)，f（x）的最小值g（t）=（1-t）²+t²-6t+1=2t²-8t+2．
綜上，g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{2t}^{2}-4t+2，t＜-1}\\{{t}^{2}-6t+1，-1≤t≤1}\\{{2t}^{2}-8t+2，t＞1}\end{array}\right.$．
（3）當(dāng)-1＜t＜1時(shí)，關(guān)于t的方程g（t）=kt
即t²-6t+1=kt有且僅有一個(gè)實(shí)根?關(guān)于t的方程 t²-6t+1-kt=0 在（-1，1）內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根，
①當(dāng)△=（6+k）²-4=0時(shí)，應(yīng)有-1＜$\frac{6+k}{2}$＜1，解得 k∈∅．
②當(dāng)△=（6+k）²-4＞0時(shí)，即 k＜-8，或k＞-4時(shí)，
令h（t）=t²-6t+1-kt，由題意可得  h（-1）h（1）=（k+8）（-k-4）＜0，解得 k＜-8，或 k＞-4．
綜合①②可得，當(dāng)k＜-8，或 k＞-4 時(shí)，關(guān)于t的方程g（t）=kt有且只有一個(gè)實(shí)根．
故所求的實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，-8）∪（-4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根的存在性根的個(gè)數(shù)判斷，突出考查分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)方程思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．