Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2ⁿ（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=a_nlog₂a_n，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式，即可求出．
（2）由（1）和條件求出b_n，利用錯位相減可求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1，
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2，
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為．a(chǎn)_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，
（2）∵b_n=a_nlog₂a_n，
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{（n-1）{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，
∴T_n=2+1•2+2•2²+…+（n-1）•2^n-1，
令M_n=1•2+2•2²+…+（n-1）•2^n-1，
2M_n=1•2²+2•2³+…+（n-2）•2^n-1+（n-1）•2ⁿ，
兩式相減可得，-M_n=2+2²+2³+…+2^n-1-（n-1）•2ⁿ，
=2ⁿ-2-（n-1）•2ⁿ=（2-n）•2ⁿ-2，
∴M_n=（n-2）•2ⁿ+2
∴T_n=（n-2）•2ⁿ+4．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的遞推公式、前n項(xiàng)和公式，以及錯位相減求數(shù)列的和的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力．