Question

9．已知各項為正的等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S₄=30，過點P（n，log₂a_n）和Q（n+2，log₂a_n+1）（n∈N^*）的直線的斜率為1，設(shè)b_n=$\frac{lo{g}_{2}{a}_{n+1}}{lo{{g}_{2}}^{2}{a}_{n+2}•lo{{g}_{2}}^{2}{a}_{n}}$，則數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}\frac{6}{17}}$+$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}\frac{24}{17}}$-$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}（\frac{6}{17}•{4}^{n}）}$-$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}（\frac{6}{17}•{4}^{n+1}）}$）．

Answer 1

分析 利用等比數(shù)列前n項和公式及直線的斜率公式列出方程組，由此能求出首項和公比，從而能求出數(shù)列{a_n}的通項公式，再由等比數(shù)列的性質(zhì)，可得a_n+1²=a_n+2a_n，$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=16，log₂a_n+2-log₂a_n=4，log₂a_n+2+log₂a_n=2log₂a_n+1，可得b_n=$\frac{lo{g}_{2}{a}_{n+1}}{lo{{g}_{2}}^{2}{a}_{n+2}•lo{{g}_{2}}^{2}{a}_{n}}$=$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}{a}_{n}}$-$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}{a}_{n+2}}$），再由裂項相消求和化簡即可得到所求和．

解答 解：由各項為正的等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S₄=30，
過點P（n，log₂a_n）和Q（n+2，log₂a_n+1）（n∈N^*）的直線的斜率為1，
可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}=30}\\{\frac{lo{g}_{2}{a}_{n+1}-lo{g}_{2}{a}_{n}}{n+2-n}=1}\end{array}\right.$，
解得a₁=$\frac{6}{17}$，q=4，
則a_n=$\frac{6}{17}$•4^n-1．a(chǎn)_n+1²=a_n+2a_n，
$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=16，log₂a_n+2-log₂a_n=4，log₂a_n+2+log₂a_n=2log₂a_n+1，
可得b_n=$\frac{lo{g}_{2}{a}_{n+1}}{lo{{g}_{2}}^{2}{a}_{n+2}•lo{{g}_{2}}^{2}{a}_{n}}$=$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}{a}_{n}}$-$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}{a}_{n+2}}$），
則有前n項和T_n=$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}{a}_{1}}$-$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}{a}_{2}}$-$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}{a}_{4}}$+$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}{a}_{3}}$-$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}{a}_{5}}$
+…+$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}{a}_{n}}$-$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}{a}_{n+2}}$）
=$\frac{1}{8}$（（$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}{a}_{1}}$+$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}{a}_{2}}$-$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}{a}_{n+2}}$）
=$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}\frac{6}{17}}$+$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}\frac{24}{17}}$-$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}（\frac{6}{17}•{4}^{n}）}$-$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}（\frac{6}{17}•{4}^{n+1}）}$）．
故答案為：$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}\frac{6}{17}}$+$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}\frac{24}{17}}$-$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}（\frac{6}{17}•{4}^{n}）}$-$\frac{1}{lo{{g}_{2}}^{2}（\frac{6}{17}•{4}^{n+1}）}$）．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法，注意運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式和直線的斜率公式，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，屬于中檔題．