Question

9．如圖，在直三棱錐A₁B₁C₁-ABC，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，點D是BC的中點．
（1）求異面直線A₁B與C₁D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC₁與平面A₁BA所成的二面角（是指不超過90°的角）的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以{$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$}為單位正交基底建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，求出$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（2，0，-4），$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（1，-1，-4），利用數(shù)量積求解即可．
（2）$\overrightarrow{AC}=（0，2，0）$是平面ABA₁的一個法向量，求出平面ADC₁的法向量，設(shè)平面ADC₁與ABA₁所成二面角為θ，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）以{$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$}為單位正交基底建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，
則由題意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），
A₁（0，0，4），D（1，1，0），C₁（0，2，4），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（2，0，-4），$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（1，-1，-4），
∴cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}B}$，$\overrightarrow{{C}_{1}D}$＞=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{{C}_{1}D}}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}||\overrightarrow{{C}_{1}D}|}$=$\frac{18}{\sqrt{20}•\sqrt{18}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴異面直線A₁B與C₁D所成角的余弦值為$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
（2）$\overrightarrow{AC}=（0，2，0）$是平面ABA₁的一個法向量，
設(shè)平面ADC₁的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
∵$\overrightarrow{AD}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{A{C}_{1}}=（0，2，4）$
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=2y+4z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得y=-2，x=2，
∴平面ADC₁的法向量為$\overrightarrow{m}$=（2，-2，1），
設(shè)平面ADC₁與ABA₁所成二面角為θ，
∴cosθ=|cos＜$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{-4}{2\sqrt{9}}$|=$\frac{2}{3}$，
∴平面ADC₁與ABA₁所成二面角的余弦值為：$\frac{2}{3}$．

點評 利用空間向量的數(shù)量積求解異面直線所成角以及二面角，考查空間想象能力以及計算能力．