Question

20．定義N^*在上的函數(shù)f（x），對任意的正整數(shù)n₁，n₂，都有f（n₁+n₂）=1+f（n₁）+f（n₂），且f（1）=1，若對任意的正整數(shù)n，有${a_n}=f（{2^n}）+1$，則a_n=2ⁿ⁺¹．

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出a_n=f（2ⁿ）+1的表達(dá)式，利用等比數(shù)列的定義即可證明{a_n}為等比數(shù)列，即可求出通項公式．

解答 解：令n₁=n₂=1，得f（2）=1+f（1）+f（1），
則f（2）=3，a₁=f（2）+1=4，
令n₁=n₂=2，得f（4）=1+f（2）+f（2），則f（4）=7，a₂=f（4）+1=8，
令n₁=n₂=2ⁿ，得f（2ⁿ+2ⁿ）=1+f（2ⁿ）+f（2ⁿ），
即f（2ⁿ⁺¹）=1+2f（2ⁿ），
則f（2ⁿ⁺¹）+1=2[1+f（2ⁿ）]，a_n+1=2a_n
所以，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比q=2，首項a₁=4．
所以a_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
故答案為：2ⁿ⁺¹

點(diǎn)評 本題主要考查等比數(shù)列的判斷和證明，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的計算能力．