Question

（本小題滿分14分）

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且 N.

（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若是三個(gè)互不相等的正整數(shù)，且成等差數(shù)列，試判斷

是否成等比數(shù)列？并說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）不是等比數(shù)列，假設(shè)成等比數(shù)列，則， 即，

化簡(jiǎn)得：. （*） ∵，∴，這與（*）式矛盾，故假設(shè)不成立

【解析】

試題分析：(1) 解：，

∴ 當(dāng)時(shí)，有  解得 .

由,              ①

得, ② 

② - ①得: .            ③ 

以下提供兩種方法：

法1：由③式得：，

即; 

，

∵，

∴數(shù)列是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.                  

∴,即.

當(dāng)時(shí), ，

又也滿足上式,

∴.

法2：由③式得：，

得.                      ④ 

當(dāng)時(shí),,            ⑤ 

⑤-④得：.     

由，得，

∴. 

∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.   ∴.

（2）解：∵成等差數(shù)列，

∴.

假設(shè)成等比數(shù)列，

則，

即，

化簡(jiǎn)得：.       （*）

∵，

∴，這與（*）式矛盾，故假設(shè)不成立.……13分

∴不是等比數(shù)列.

考點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的前項(xiàng)和

點(diǎn)評(píng)：本題需要構(gòu)造新數(shù)列，難度很大，求解中用到的關(guān)系式

第二問中的反證法的應(yīng)用比綜合法分析法更簡(jiǎn)單實(shí)用；本題還考查了合情推理、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力