Question

15．若數(shù)列{a_n}滿足a${\;}_{n+1}^{2}$-a${\;}_{n}^{2}$=d，其中d為常數(shù)，則稱數(shù)列{a_n}為等方差數(shù)列．已知等方差數(shù)列{a_n}滿足a_n＞0，a₁=1，a₅=3．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=na${\;}_{n}^{2}$，若不等式kb_n＞n（4-k）+4對任意的n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）要求數(shù)列的通項(xiàng)公式，我們根據(jù)數(shù)列{a_n}為等方差數(shù)列，且a₁=1，a₅=3．我們根據(jù)等方差數(shù)列的定義：a_n+1²-a_n²=d我們可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于d的方程，解方程求出公差d，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求得b_n的通項(xiàng)公式，代入kb_n＞n（4-k）+4，分離k的取值范圍，根據(jù)n的取值范圍，求得k的取值范圍．

解答 解：（1）由a₁²=1，a₅²=9．
得，a₅²-a₁²=4d，
∴d=2．…（3分）
a_n²=1+（n-1）×2=2n-1，
∵a_n＞0，
∴a_n=$\sqrt{2n-1}$，
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\sqrt{2n-1}$；…（6分）
（2）由（1）知記b_n=na_n²，=2n²-n不等式kb_n＞n（4-k）+4恒成立，
即kn²-2n-2＞0對于一切的n∈N^*恒成立．
∴k＞$\frac{2}{n}$+$\frac{2}{{n}^{2}}$，…（9分）
又n≥1，$\frac{2}{n}$+$\frac{2}{{n}^{2}}$≤4．…（10分）
∴k＞4，
∴不等式kb_n＞n（4-k）+4對任意的n∈N^*恒成立，
實(shí)數(shù)k的取值范圍是：k∈（4，+∞）． …（12分）

點(diǎn)評 本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查不等式恒成立，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬中檔題．