Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+acosx+

5

8

a-

3

2

在閉區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值是1，則a=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：將已知解析式變形為f（x）=sin²x+acosx+

5

8

a-

3

2

=-cos²x+acosx+

5

8

a-

1

2

=-（cosx-

a

2

）²+

5a

8

+

a2

4

-

1

2

，x∈[0，

π

2

]，則cosx∈[0，1]，利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題解答．

解答： 解：f（x）=sin²x+acosx+

5

8

a-

3

2

=-cos²x+acosx+

5

8

a-

1

2

=-（cosx-

a

2

）²+

5a

8

+

a2

4

-

1

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，∴cosx∈[0，1]，設(shè)cosx=t，則t∈[0，1]，
所以f（t）=-（t-

a

2

）²+

5a

8

+

a2

4

-

1

2

，在[0，1]上的最大值為1，
當(dāng)0＜

a

2

＜1，f（t）_max=f（

a

2

）=

5a

8

+

a2

4

-

1

2

=1，解得a=-4（舍去）或a=

3

2

；
當(dāng)

a

2

≥1時(shí)，f（t）_max=f（1）-（1-

a

2

）²+

5a

8

+

a2

4

-

1

2

=1，解得a=

20

13

＜2舍去；
當(dāng)

a

2

≤0時(shí)，f（t）_max=f（0）=-（0-

a

2

）²++

5a

8

+

a2

4

-

1

2

=1，解得a=

12

5

，舍去；
綜上a=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．