Question

已知f（x）=-

1

2

x2+3x-2lnx在[t，t+1]上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先由函數(shù)求f′（x）=-x+3-

2

x

，再由“函數(shù)f（x）=-

1

2

x2+3x-2lnx在[t，t+1]上不單調(diào)”轉(zhuǎn)化為“f′（x）=-x+3-

2

x

=0在區(qū)間[t，t+1]上有解”，
從而有

x2-3x+2

x

=0在[t，t+1]上有解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為：g（x）=x²-3x+2=0在[t，t+1]上有解，用二次函數(shù)的性質(zhì)研究．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=-

1

2

x2+3x-2lnx
∴f′（x）=-x+3-

2

x

，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵函數(shù)f（x）=-

1

2

x2+3x-2lnx在[t，t+1]上不單調(diào)，
∴f′（x）=-x+3-

2

x

=0在區(qū)間[t，t+1]上有解”，
∴

x2-3x+2

x

=0在[t，t+1]上有解，
∴g（x）=x²-3x+2=0在[t，t+1]上有解
∴g（t）g（t+1）≤0或

t＜ 3 2 ＜t+1 △=1＞0 g(t)≥0 g(t+1)≥0

∴0＜t≤2．
故答案為：0＜t≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路：當(dāng)函數(shù)是增函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于等于零恒成立，當(dāng)函數(shù)是減函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于等于零恒成立，然后轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的最值問題．注意判別式的應(yīng)用．