Question

【題目】已知曲線C：（5﹣m）x2+（m﹣2）y2=8（m∈R）
（1）若曲線C是焦點在x軸點上的橢圓，求m的取值范圍；
（2）設(shè)m=4，曲線c與y軸的交點為A，B（點A位于點B的上方），直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點M、N，直線y=1與直線BM交于點G．求證：A，G，N三點共線．

Answer 1

【答案】
（1）解：原曲線方程可化簡得：

由題意，曲線C是焦點在x軸點上的橢圓可得： ，解得：

（2）證明：由已知直線代入橢圓方程化簡得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32（2k2﹣3）＞0，解得：

由韋達定理得： ①， ，②

設(shè)N（xN，kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），MB方程為： ，則 ，

∴ ， =（xN，kxN+2），

欲證A，G，N三點共線，只需證 ， 共線

即 成立，化簡得：（3k+k）xMxN=﹣6（xM+xN）

將①②代入可得等式成立，則A，G，N三點共線得證．

【解析】（1）原曲線方程，化為標準方程，利用曲線C是焦點在x軸點上的橢圓可得不等式組，即可求得m的取值范圍；（2）由已知直線代入橢圓方程化簡得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32（2k2﹣3），解得： ，設(shè)N（xN ， kxN+4），M（xM ， kxM+4），G（xG ， 1），MB方程為： ，則 ，從而可得 ， =（xN ， kxN+2），欲證A，G，N三點共線，只需證 ， 共線，利用韋達定理，可以證明．
【考點精析】通過靈活運用橢圓的標準方程，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：即可以解答此題．