Question

如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB//CD， ，F(xiàn)C 平面ABCD， AE BD，CB =CD=-CF．

(Ⅰ)求證：平面ABCD 平面AED；

(Ⅱ)直線AF與面BDF所成角的余弦值

 

Answer 1

(Ⅰ)見解析 (Ⅱ)

【解析】

試題分析：(Ⅰ)通過計(jì)算可證得AD⊥BD，又因?yàn)锳E⊥BD，由線面垂直的判定定理得，BD⊥面ADE，由面面垂直的判定定理得，面ADE⊥面ABCD； (Ⅱ)由(Ⅰ)知AD⊥BD，同理可證AC⊥BC，因?yàn)镃F⊥面ABCD，所以以CA，CB，CF分別為建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC=1，求出A、B、D，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的坐標(biāo)和平面BDF法向量的坐標(biāo)，利用空間向量夾角公式計(jì)算出這兩個(gè)向量夾角的余弦值，利用同腳三角函數(shù)基本關(guān)系求出向量夾角的正弦值即為線面夾角的余弦值．

試題解析：(Ⅰ)∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，

∴∠ADC=∠BCD=120°，

又CB=CD，∴∠CDB=30°，∴∠ADB=90°，AD⊥BD，

又AE⊥BD，且AE∩AD=A，AE，AD?平面AED，

∴BD⊥平面AED，∴平面ABCD⊥平面AED．

(Ⅱ)連結(jié)AC，由(Ⅰ)知AD⊥BD，∴AC⊥BC，

又FC⊥平面ABCD，∴CA，CB，CF兩兩垂直，

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CB=1，

則A（，0，0），B（0，1，0），D（，，0），F(xiàn)（0，0，1），

∴=（，，0），=＝(0，?1，1)，=（-，0，1），

設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為＝(x，y，z)，則，取z=1，則=（，1，1），

所以=，∴直線AF與面BDF所成角的余弦值為． （12分）

考點(diǎn)：空間線面垂直的判定，空間面面垂直的判定，線面角的計(jì)算，推理論證能力，運(yùn)算求解能力