Question

7．A，B分別是y=kx和$y=-\frac{1}{k}x$與橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$的交點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}$，當(dāng)k變化時(shí)，點(diǎn)P一定在（　�。�

• A． 雙曲線x²-2y²=1上
• B． 橢圓${x^2}+\frac{y^2}{2}=1$上
• C． 圓${x^2}+{y^2}=\frac{1}{3}$上
• D． 圓${x^2}+{y^2}=\frac{2}{3}$上

Answer 1

分析 由條件求得${\overrightarrow{OA}}^{2}$和${\overrightarrow{OB}}^{2}$的值，由 $\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}$，求得OP⊥AB．再根據(jù)△OAB的面積為$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{OP}$|，求得 OP²=$\frac{2}{3}$，可得點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心、半徑等于1的圓上，從而得出結(jié)論．

解答 解：聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得x²=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，y²=$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，OA²=$\frac{2+2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得${x}^{2}=\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+2}$，y²=$\frac{2}{{k}^{2}+2}$，OB²=$\frac{2{k}^{2}+2}{{k}^{2}+2}$，
∵點(diǎn)P在線段AB上，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}$，
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}$=0，∴OP⊥AB，
∵△OAB的面積為$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{OP}$|，
∴OP²=$\frac{O{A}^{2}•O{B}^{2}}{A{B}^{2}}$=$\frac{O{A}^{2}•O{B}^{2}}{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
故點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心、半徑等于$\frac{2}{3}$的圓上，
∴點(diǎn)P一定在圓${x^2}+{y^2}=\frac{2}{3}$上．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量垂直的條件，兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，利用面積法求線段的長度，屬于中檔題．