Question

19．模擬考試后，某校對甲、乙兩個(gè)班的數(shù)學(xué)考試成績進(jìn)行分析，規(guī)定：不少于120分為優(yōu)秀，否則為非優(yōu)秀，統(tǒng)計(jì)成績后，得到如下的2×2列聯(lián)表，已知在甲、乙兩個(gè)班全部100人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為$\frac{3}{10}$．

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	合計(jì)
甲班	10
乙班		30
合計(jì)			100

（1）請完成上面的2×2列聯(lián)表
（2）根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”？
（3）在“優(yōu)秀”的學(xué)生人中，用分層抽樣的方法抽取6人，再平均分成兩組進(jìn)行深入交流，求第一組中甲班學(xué)生恰有2人的概率．
參考公式與臨界表：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

Answer 1

分析 （1）設(shè)求出乙班優(yōu)秀人數(shù)，填寫列聯(lián)表即可；
（2）計(jì)算觀測值K²，對照數(shù)表得出概率結(jié)論；
（3）利用分層抽樣求出所抽的6人中甲班、乙班的學(xué)生數(shù)，利用列舉法計(jì)算基本事件數(shù)，求出對應(yīng)的概率即可．

解答 解：（1）設(shè)乙班優(yōu)秀人數(shù)為x人，則$\frac{10+x}{100}$=$\frac{3}{10}$，解得x=20；
故列聯(lián)表如下：

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	合計(jì)
甲班	10	40	50
乙班	20	30	50
合計(jì)	30	70	100

（2）K²=$\frac{10{0（10×30-40×20）}^{2}}{50×50×30×70}$≈4.762＜5.024，
故沒有達(dá)到可靠性要求，不能認(rèn)為成績與班級有關(guān)系；
（3）在所抽的6人中，甲班有$\frac{10}{30}$×6=2人，設(shè)為A、B，
乙班有$\frac{20}{30}$×6=4人，設(shè)為C、D、E、F，
從這6人中任選3人，基本事件有
ABC、ABD、ABE、ABF、ACD、ACE、ACF、ADE、ADF、AEF、
BCD、BCE、BCF、BDE、BDF、BEF、CDE、CDF、CEF、DEF共20種，
其中甲班恰有2人的事件為ABC、ABD、ABE、ABF共4種，
所以所求的概率為P=$\frac{4}{20}$=$\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了對立性檢驗(yàn)問題，也考查了用列舉法求古典概型的概率問題，是基礎(chǔ)題目．