Question

15．如圖，在三棱錐P-ABC中，∠PAC=∠BAC=90°，PA=PB，點D，F(xiàn)分別為BC，AB的中點．
（1）求證：直線DF∥平面PAC；
（2）求證：PF⊥AD．

Answer 1

分析 （1）由三角形中位線定理得DF∥AC，由此能證明直線DF∥平面PAC．
（2）由AC⊥AB，AC⊥AP，得AC⊥平面PAB，從而AC⊥PF，再推導(dǎo)出PF⊥AB，從而PF⊥平面ABC，由此能證明AD⊥PF．

解答 證明：（1）∵點D，F(xiàn)分別為BC，AB的中點，
∴DF∥AC，
又∵DF?平面PAC，AC?平面PAC，
∴直線DF∥平面PAC． …（6分）
（2）∵∠PAC=∠BAC=90°，
∴AC⊥AB，AC⊥AP，
又∵AB∩AP=A，AB，AP在平面PAB內(nèi)，
∴AC⊥平面PAB，…（8分）
∵PF?平面PAB，∴AC⊥PF，
∵PA=PB，F(xiàn)為AB的中點，∴PF⊥AB，
∵AC⊥PF，PF⊥AB，AC∩AB=A，AC，AB在平面ABC內(nèi)，
∴PF⊥平面ABC，…（12分）
∵AD?平面ABC，∴AD⊥PF． …（14分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查線線垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．