Question

18．已知函數(shù)g（x）=$\frac{1}{x•sinθ}$+2lnx在[$\frac{1}{2}$，+∞）上為增函數(shù)，且θ∈（0，π），f（x）=mx-$\frac{m-1}{x}$，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）當(dāng)m≥1，x≥1時(shí)，求證：f（x）≥g（x）；
（3）設(shè)h（x）=$\frac{2e}{x}$，若在[1，e]上至少存在一個(gè)x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令g′（x）≥0在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立解出sinθ的范圍，從而解出θ；
（2）令F（x）=f（x）-g（x），利用導(dǎo)數(shù)判斷F（x）的單調(diào)性，求出F_min（x），只需證明F_min（x）≥0即可；
（3）根據(jù)m的范圍求出F（x）的最大值，只需令F_max（x）＞h_min（x）即可．

解答 解：（1）∵g（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上為增函數(shù)，∴g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}sinθ}$+$\frac{2}{x}$=$\frac{2xsinθ-1}{{x}^{2}sinθ}$≥0在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，
∵θ∈[0，π]，∴x²sinθ＞0，∴2xsinθ-1≥0在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，∴sinθ-1≥0恒成立，∴sinθ=1．∴$θ=\frac{π}{2}$．
（2）g（x）=$\frac{1}{x}$+2lnx，令F（x）=f（x）-g（x）=mx-$\frac{m-1}{x}$-$\frac{1}{x}$-2lnx．
∴F′（x）=m+$\frac{m-1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{m{x}^{2}-2x+m}{{x}^{2}}$，∵（-2）²-4m²=4（1-m²）≤0，∴mx²-2x+m≥0，∴F′（x）≥0，
∴F（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，∴F（x）≥F（1）=0．即f（x）-g（x）≥0，∴f（x）≥g（x）．
（3）h（x）=$\frac{2e}{x}$在[1，e]上是減函數(shù)，h_min（x）=2．
∵至少存在一個(gè)x₀∈[1，e]，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，∴F_max（x）＞2．
①當(dāng)m=0時(shí)，F(xiàn)（x）=-2lnx，∴F（x）≤F（1）=0，不符合題意．
當(dāng)m≠0時(shí)，令s（x）=mx²-2x+m，△=4（1-m²），
②當(dāng)m≥1時(shí)，由（2）可知F_max（x）=F（e）=me-$\frac{m}{e}$-2．∴me-$\frac{m}{e}$-2＞2，解得m＞$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$．
③當(dāng)m≤-1時(shí)，s（x）≤0，∴F′（x）≤0，∴F（x）是減函數(shù)，∴F_max（x）=F（1）=0，不符合題意．
若△＞0，令S（x）=0，得x₁=$\frac{1-\sqrt{1-{m}^{2}}}{m}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-{m}^{2}}}{m}$，
④當(dāng)0＜m＜1時(shí)，x₁＜1＜x₂，
令x₂≥e解得0＜m≤$\frac{2e}{{e}^{2}+1}$，此時(shí)當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，s（x）≤0，∴F′（x）≤0，∴F（x）是減函數(shù)，∴F_max（x）=F（1）=0，不符合題意．
令x₂＜e，解得$\frac{2e}{{e}^{2}+1}$＜m＜1，此時(shí)當(dāng)x∈[1，x₂）時(shí)，s（x）＜0，當(dāng)x∈（x₂．e]時(shí)，s（x）＞0，
∴F（x）在[1，x₂）上是減函數(shù)，在[x₂，e]上是增函數(shù)．
F（1）=0，F(xiàn)（e）=me-$\frac{m}{e}$-2=m（e-$\frac{1}{e}$）-2＜e$-\frac{1}{e}$-2＜2，∴F_max（x）＜2，不符合題意．
⑤當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，x₂＜x₁＜0，∴當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，s（x）＜0，∴F′（x）＜0，∴F（x）是減函數(shù)，∴F_max（x）=F（1）=0，不符合題意．
綜上，m的取值范圍是（$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)最值，屬于中檔題．