Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x²+1），g（x）=

1

x2-1

+a，求f（x）=g（x）的根的個數(shù)．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)m（x）=f（x）-g（x），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，即可得到結(jié)論．

解答： 解：構(gòu)造函數(shù)m（x）=f（x）-g（x），
則m（x）=f（x）-g（x）=ln（x²+1）-

1

x2-1

-a，函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠±1}，函數(shù)m（x）為偶函數(shù)，
則m′（x）=

2x

x2+1

+

2x

(x2-1)2

=2x[

1

x2+1

+

1

(x2-1)2

]，
由m′（x）＞0，解得x＞0且x≠1，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由m′（x）＜0，解得x＜0且x≠-1，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），和（-1，0），
∴在（-1，1）上函數(shù)m（x）取得極小值m（0）=1-a，
當(dāng)x→-1^-，m（x）→-∞，當(dāng)x→-1⁺，m（x）→+∞，
當(dāng)x→-∞，m（x）→+∞，當(dāng)x→+∞，m（x）→+∞，
故當(dāng)1-a＞0，即a＜1時，方程有2個根，
當(dāng)1-a=0，即a=1時，方程有3個根，
當(dāng)1-a＜0，即a＞1時，方程有4個根．

點評：本題主要考查方程根的個數(shù)的判斷．構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．