Question

如圖，已知四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，CD=2，PA=AD=AB=1，E為PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EB∥平面PAD；
（2）求直線BD與平面PCD所成的角；
（3）求二面角A-PC-D的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取PD的中點(diǎn)F，連結(jié)AF、EF，由已知條件得四邊形ABEF為平行四邊形，由此能證明EB∥平面PAD．
（2）由已知得平面PAD⊥平面ABCD，從而平面PCD⊥平面PAD，連結(jié)DE，則∠BDE為直線BD與平面PCD所成的角，由此能求出直線BD與平面PCD所成的角．
（3）過F作FG⊥PC于G，連結(jié)AG，由三垂線定理得，AG⊥PC，則∠FGA為二面角A-PC-D的平面角，由此能求出二面角A-PC-D的大�。�

解答： （1）證明：取PD的中點(diǎn)F，連結(jié)AF、EF，
則EF

∥

.

 

1

2

CD，又BA

∥

.

1

2

CD，
∴EF

∥

.

BA，（2分）
∴四邊形ABEF為平行四邊形，∴EB∥FA，
又∵EB?平面PAD，F(xiàn)A?平面PAD，
∴EB∥平面PAD．（4分）
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，
又∵CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，又CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD，
∵PA=AD，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，
∴AF⊥PD，
∴AF⊥平面PCD，又∵BE∥AF，∴BE⊥平面PCD，
連結(jié)DE，則∠BDE為直線BD與平面PCD所成的角，（6分）
在Rt△PCD中，
∴在Rt△ABD中，BD=

AD2+AB2

=

2

，
∴在Rt△BDE中，cosBDE=

DE

BD

=

6 2

2

=

3

2

，
∴∠BDE=30°，
即直線BD與平面PCD所成的角為30°．（8分）
（3）解：過F作FG⊥PC于G，連結(jié)AG，由三垂線定理得，AG⊥PC，
∴∠FGA為二面角A-PC-D的平面角，（10分）
∵Rt△PFG∽R(shí)t△PCD，
∴

FG

CD

=

PF

PC

，
∴FG=

CD•PF

PC

=

2× 2 2

6

=

1

3

，
在Rt△AFG中，tanFGA=

AF

FG

=

2 2

1 3

=

6

2

，
∴∠FGA=arctan

6

2

，
即二面角A-PC-D的大小為arctan

6

2

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成的角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．