Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，M、N分別為A₁B和AC上的點，A₁M=AN=

2

3

a，如圖．
（1）求證：MN∥面BB₁C₁C；
（2）求MN的長．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由于CD⊥平面B₁BCC₁，所以

DC

是平面B₁BCC₁的法向量，因此只需證明向量

MN

•

DC

=0，建立空間直角坐標系，得到所需向量的坐標，通過數(shù)量積證明MN所在的向量與面BB₁C₁C的法向量垂直；
（2）由（1）得到

MN

的坐標，通過求其模求MN 的長度．

解答： 證明：∵正方體棱長為a，建立D-xyz坐標系，如圖，

因為A₁M=AN=

2

3

a，
∴M（a，

1

3

a，

2

3

a），N（

2

3

a，

1

3

a，0），所以

MN

=（-

1

3

a，0，-

2

3

a），
又∵

DC

=（0，a，0）是平面B₁BCC₁的法向量，
且

MN

•

DC

=0，
∴

MN

⊥

DC

，
∴MN∥平面B₁BCC₁．
（2）∵

MN

=（-

1

3

a，0，-

2

3

a），
∴MN=

(- 1 3 a)2+0+(- 2 3 a)2

=

5

3

a．

點評：本題考查線面平行的判定以及線段長度，在正方體為載體的幾何證明中，通常建立空間直角坐標系，通過向量的運算證明線面關(guān)系等．