Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=-

2

3

，其前n項(xiàng)和為S_n滿足S_n+

1

Sn

=a_n-2，（n≥2）．
（1）計(jì)算S₁、S₂、S₃、S₄； 
（2）猜想S_n的表達(dá)式，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）令n=2，得S₂+

1

S2

=a₂-2=S₂-a₁-2，由此求出S₂=-

3

4

．同理，求得S₃=-

4

5

，S₄=-

5

6

．
（2）猜想S_n =-

n+1

n+2

，n∈N₊，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

解答： 解：（1）∵a₁=-

2

3

，其前n項(xiàng)和為S_n滿足S_n+

1

Sn

=a_n-2，（n≥2），
∴S₁=a₁=-

2

3

，
令n=2，得S₂+

1

S2

=a₂-2=S₂-a₁-2，
∴

1

S2

=

2

3

-2=-

4

3

，∴S₂=-

3

4

．
同理，求得S₃=-

4

5

，S₄=-

5

6

．
（2）猜想S_n =-

n+1

n+2

，n∈N₊，
下邊用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=2時(shí)，S₂=a₁+a₂=-

3

4

，猜想成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即S_K=-

k+1

k+2

．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，∵S_n+

1

Sn

=a_n-2，
∴S_k+1+

1

Sk+1

=a_k+1-2，
∴S_k+1+

1

Sk+1

=S_k+1-S_k-2，
∴

1

Sk+1

=

k+1

k+2

-2=

-k-3

k+2

，
∴S_K+1=-

k+2

k+3

，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想仍然成立．
綜合①②可得，猜想對(duì)任意正整數(shù)都成立，
即 S_n=-

n+1

n+2

，n∈N₊成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．