Question

證明：（1）

3

-

2

＞

6

-

5

；
（2）1，

2

，3不可能是一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：反證法與放縮法,不等式比較大小

專題：證明題,分析法,反證法

分析：（1）分析使不等式

3

-

2

＞

6

-

5

成立的充分條件，一直分析到使不等式成立的充分條件顯然具備，從而不等式得證．
（2）利用反證法證明，假設(shè)1，

2

，3是某一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)，且分別是第m，n，k項(xiàng)，推出

2

-1是有理數(shù)，這與

2

-1是無理數(shù)相矛盾，即可證明不可能是等差數(shù)列中的三項(xiàng)．

解答： 證明：（1）要證明

3

-

2

＞

6

-

5

，
只需證明

3

+

5

＞

6

+

2

，
只需證明8+2

15

＞8+2

12

，
只需證明

15

＞

12

，
顯然成立，
所以

3

-

2

＞

6

-

5

；
（2）假設(shè)1，

2

，3是某一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)，且分別是第m，n，k項(xiàng)（m，n，k∈N^*），
則數(shù)列的公差d=

2 -1

n-m

=

3-1

k-m

，則

2

-1=

2(n-m )

k-m

，
因?yàn)閙，n，k∈N^*，所以（n-m），（k-m）∈Z，所以

2(n-m )

k-m

為有理數(shù)，
所以

2

-1是有理數(shù)，這與

2

-1是無理數(shù)相矛盾．
故假設(shè)不成立，所以1，

2

，3不可能是某等差數(shù)列的三項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用分析法證明不等式，利用用分析法證明不等式的關(guān)鍵是尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件已經(jīng)顯然具備為止；反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得．應(yīng)用反證法證明的具體步驟是：①反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)； ②歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；③結(jié)論：說明反設(shè)成立，從而肯定原命題成立．