Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）+

a

2

x²-x（a≥0）．
（1）若f（x）＞0對x∈（0，+∞）都成立，求a的取值范圍；
（2）已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，證明：?n∈N^*，

e

＜（1+

1

n2

）（1+

2

n2

）…（1+

n

n2

）＜e．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,不等式的證明

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）f（x）＞0對x∈（0，+∞）都成立?f（x）_min＞0．f′（x）=

1

1+x

+ax-1=

x(ax+a-1)

x+1

．（a≥0）．對a分類討論：a=0，a≥1，0＜a＜1，利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可得出；
（2）由（1）可知：當a=0時，ln（1+x）＜x，x＞0．取x=

i

n2

，（i∈N^*，i≤n，n∈N^*）．可得ln(1+

i

n2

)＜

i

n2

，利用“累加求和”即可證明不等式的右邊部分
（1+

1

n2

）（1+

2

n2

）…（1+

n

n2

）＜e．由（1）可知：當a=1時，ln（1+x）＞x-

1

2

x2＞

1

2

x，1＞x＞0．取x=

i

n2

，（i∈N^*，i≤n，n∈N^*）．則ln(1+

i

n2

)＞

1

2

×

i

n2

，利用“累加求和”即可證明不等式的左邊部分．

解答： （1）解：f（x）＞0對x∈（0，+∞）都成立?f（x）_min＞0．
f′（x）=

1

1+x

+ax-1=

x(ax+a-1)

x+1

．（a≥0）．
當a≥1時，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）＞f（0）=0，∴f（x）_min＞0成立，因此a≥1滿足條件．
當a=0時，f′（x）=

-x

1+x

＜0，∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，∴f（x）＜f（0），不滿足條件，舍去．
當0＜a＜1時，f′（x）=

ax(x- 1-a a )

1+x

，當0＜x＜

1-a

a

時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，∴f（x）＜f（0）=0，不滿足條件，舍去．
綜上可得：只有當a≥1時滿足條件．因此a的取值范圍是[1，+∞）．
（2）證明：由（1）可知：當a=0時，ln（1+x）＜x，x＞0．
取x=

i

n2

，（i∈N^*，i≤n，n∈N^*）．
∴ln(1+

i

n2

)＜

i

n2

，
∴ln(1+

1

n2

)+ln(1+

2

n2

)+…+ln(1+

n

n2

)＜

1

n2

+

2

n2

+…+

n

n2

=

n(n+1) 2

n2

=

n+1

2n

≤1，
∴ln[(1+

1

n2

)(1+

2

n2

)•…•(1+

n2

n2

)]＜1
∴（1+

1

n2

）（1+

2

n2

）…（1+

n

n2

）＜e．
由（1）可知：當a=1時，ln（1+x）＞x-

1

2

x2＞

1

2

x，1＞x＞0．
取x=

i

n2

，（i∈N^*，i≤n，n∈N^*）．
則ln(1+

i

n2

)＞

1

2

×

i

n2

，
∴ln(1+

1

n2

)+ln(1+

2

n2

)+…+ln(1+

n

n2

)＞

1

2

(

1

n2

+

2

n2

+…+

n

n2

)=

1

2

×

n+1

2n

≥

1

2

，
∴ln[(1+

1

n2

)(1+

2

n2

)•…•(1+

n2

n2

)]＞

1

2

，
∴（1+

1

n2

）（1+

2

n2

）…（1+

n

n2

）＞

e

．
綜上可得：?n∈N^*，

e

＜（1+

1

n2

）（1+

2

n2

）…（1+

n

n2

）＜e．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、“累加求和”、“放縮法”、等差數(shù)列的前n項和公式，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了利用已經(jīng)證明的結(jié)論證明不等式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．