已知數(shù)列{an}的每項(xiàng)均為正數(shù),首項(xiàng)a1=1.記數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,滿足a13+a23+…+an3=Sn2
(1)求a2的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=
1
anan+3
,記數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和為T(mén)n,求證:Tn
11
18
考點(diǎn):數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和
專(zhuān)題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由已知當(dāng)n=2時(shí),1+a23=(1+a2)2,解得a2=2.an+12=2(a1+a2+…+an)+an+1,從而an+1-an=1,進(jìn)而數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,由此求出an=n.
(2)由
1
anan+3
=
1
n(n+3)
=
1
3
(
1
n
-
1
n+3
)
,利用裂項(xiàng)求和法能證明Tn
11
18
解答: 解:(1)∵a1=1,a13+a23+…+an3=Sn2,
∴當(dāng)n=2時(shí),1+a23=(1+a2)2,解得a2=2.
由于a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)2
a13+a23+…+an3+an+13=(a1+a2+…+an+an+1)2
②-①得an+13=(a1+a2+…+an+an+1)2-(a1+a2+…+an)2
∵an>0,∴an+12=2(a1+a2+…+an)+an+1③,
同樣有an2=2(a1+a2+…+an-1)+an(n≥2),④.
③-④an+12-an2=an+1+an,
∴an+1-an=1,∵a2-a1=1,即當(dāng)n≥1時(shí)都有:an+1-an=1,
∴數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.故an=n.(7分)
(2)由(1)知an=n,則
1
anan+3
=
1
n(n+3)
=
1
3
(
1
n
-
1
n+3
)
,
Tn=
1
a1a4
+
1
a2a5
+
1
a3a6
+…+
1
anan+3
=
1
3
(
1
1•4
+
1
2•5
+
1
3•6
+…+
1
n(n+3)
)=
1
3
(1-
1
4
+
1
2
-
1
5
+…+
1
n
-
1
n+3
)

=
1
3
(1+
1
2
+
1
3
-
1
n+1
-
1
n+2
-
1
n+3
)<
11
18
,
∴Tn
11
18
.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查不等式的證明,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)集合A={-1,0,1},B={x|x2-x<2},則集合A∩B=(  )
A、{-1,0,1}
B、{-1,0}
C、{0,1}
D、{-1,1}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

三次函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d(b,c,d∈R)在區(qū)間[-1,2]上是減函數(shù),那么b+c的取值范圍是(  )
A、(-∞, 
15
2
)
B、(-∞, -
15
2
)
C、A(x0,f(x0))
D、(-∞,-
15
2
]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知F1,F(xiàn)2為雙曲線C:
x
2
 
-y2=1
的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,|PF1|=2|PF2|,則cos∠F1PF2=(  )
A、
1
4
B、
3
4
C、
3
5
D、
4
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,a1=1,a4=8,在an和an+1之間插入bn個(gè)數(shù)得到一個(gè)新數(shù)列{cn},已知b1=1,{cn}為等差數(shù)列
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知三角形ABC,bc=2b2+2c2-2a2,a=1,sinB+sinc=
10
2
,求b值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,P是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0,c2=a2+b2)右支(在第一象限內(nèi))上的任意一點(diǎn).A1,A2分別是左右頂點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線PA1,PO,PA2的斜率分別為k1,k2,k3,則斜率之積k1k2k3的取值范圍是(  )
A、(0,
a3
b3
B、(0,
b3
a3
C、(0,
a3
c3
D、(0,
b3
c3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知A,B是兩個(gè)相互獨(dú)立事件,P(A),P(B)分別表示它們發(fā)生的概率,則1-P(A)P(B)是下列哪個(gè)事件的概率( 。
A、事件A,B同時(shí)發(fā)生
B、事件A,B至少有一個(gè)發(fā)生
C、事件A,B至多有一個(gè)發(fā)生
D、事件A,B都不發(fā)生

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

sin21°+sin22°+sin23°+sin288°+sin289°+sin290°=(  )
A、45
B、45
1
2
C、
46+
2
2
D、
90+
2
2

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