Question

10．己知函數(shù)f（x）滿足f（1）=$\frac{1}{4}$，對任意x，y∈R都有4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），則f（2017）=（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，利用函數(shù)的周期性進(jìn)行求解即可．

解答 解：取x=1，y=0得$f（0）=\frac{1}{2}$
法一：根據(jù)已知知$f（1）=\frac{1}{4}$
取x=1，y=1得f（2）=-$\frac{1}{4}$
取x=2，y=1得f（3）=-$\frac{1}{2}$
取x=2，y=2得f（4）=-$\frac{1}{4}$
取x=3，y=2得f（5）=$\frac{1}{4}$
取x=3，y=3得f（6）=$\frac{1}{2}$
猜想得周期為6；
法二：取x=1，y=0得$f（0）=\frac{1}{2}$
取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n-1），
同理f（n+1）=f（n+2）+f（n）
聯(lián)立得f（n+2）=-f（n-1）
所以f（n）=-f（n+3）=f（n+6）
所以函數(shù)是周期函數(shù)，周期T=6，
故f（2017）=f（336×6+1）=f（1）=$\frac{1}{4}$，
故選：A．

點評 本題主要考查函數(shù)值的計算，準(zhǔn)確找出周期是此類問題（項數(shù)很大）的關(guān)鍵，分別可以用歸納法和演繹法得出周期，解題時根據(jù)自己熟悉的方法得出即可．