Question

14．已知等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，0），另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y²=$\sqrt{3}$x上，則這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為（　�。�

• A． 3
• B． 6
• C． 2$\sqrt{3}$±3
• D． 2$\sqrt{3}$+3

Answer 1

分析 設(shè)另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 （ $\frac{{m}^{2}}{\sqrt{3}}$，m），（ $\frac{{m}^{2}}{\sqrt{3}}$，-m），由圖形的對(duì)稱性可以得到方程tan30°，解此方程得到m的值．然后求解三角形的邊長(zhǎng)．

解答 解：由題意，依據(jù)拋物線的對(duì)稱性，及正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，0），
另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y²=$\sqrt{3}$x上，可設(shè)另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（ $\frac{{m}^{2}}{\sqrt{3}}$，m），（ $\frac{{m}^{2}}{\sqrt{3}}$，-m），
由拋物線的對(duì)稱性可以得到方程tan30°=$\frac{m}{\frac{{m}^{2}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得m=$\frac{3±2\sqrt{3}}{2}$，故這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為2|m|=2$\sqrt{3}±3$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直角三角形中的邊角關(guān)系，設(shè)出另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，是解題的突破口．