證明：
ln2
2
+
ln3
3
+…+
lnn
n
＜
n(n-1)
4
（n≥2）．
考點：反證法與放縮法
專題：推理和證明
分析：構造函數(shù)g（x）=
lnx
x
-
x-1
2
（x＞0），利用導數(shù)法可判斷g（x）在[3，+∞）上單調遞減，當x≥3時，g（x）max=g（3）=
ln3
3
-1＜0，又g（2）=
ln2
2
-
1
2
＜0，利用累加法可證結論成立．
解答： 證明：令g（x）=
lnx
x
-
x-1
2
（x＞0），
則g′（x）=
1-lnx
x2
-
1
2
，
當x≥3時，g′（x）＜0，所以，g（x）在[3，+∞）上單調遞減；
所以，當x≥3時，g（x）max=g（3）=
ln3
3
-1＜0，
∴g（4）=
ln4
4
-
4-1
2
=
ln4
4
-
3
2
＜0，
…，
g（n）=
lnn
n
-
n-1
2
＜0，
又g（2）=
ln2
2
-
1
2
＜0，
所以，g（2）+g（3）+…+g（n）=（
ln2
2
+
ln3
3
+…+
lnn
n
）-（
1
2
+
2
2
+…+
n-1
2
）＜0，
所以，
ln2
2
+
ln3
3
+…+
lnn
n
＜
1
2
+
2
2
+…+
n-1
2
=
1
2
•
(1+n-1)(n-1)
2
=
n(n-1)
4
，
故原命題得證．
點評：本題考查不等式的證明，構造函數(shù)g（x）=
lnx
x
-
x-1
2
（x＞0），并分析得到g（x）在[3，+∞）上單調遞減是關鍵；考查轉化思想．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）在定義域（-4，6）內可導，其圖象如圖所示，記y=f（x）的導函數(shù)為y=f′（x），則滿足f′（x）＞0的實數(shù)x的范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b，c分別是△ABC的三個內角A，B，C的對邊，
-2b-c
a
=
cosC
cosA
．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面積S=
3
，求△ABC周長的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設集合M={y|y=2sinx，x∈[-5，5]，N={x|y=log2（x-1）}，則M∩N=（　　）
A、{x|1＜x＜5}
B、{x|1＜x≤0}
C、{x|-2≤x≤0}
D、{x|1＜x≤2}

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

復數(shù)Z滿足（1+i）Z=|1-i|，是Z的虛部為（　�。�
A、-
2
2
i
B、
2
2
i
C、-
2
2
D、
2
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知焦距為8，離心率為0.8，則橢圓的標準方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，試回答下列問題：
（1）求函數(shù)的周期；
（2）畫出函數(shù)y=f（x+1）的圖象；
（3）你能寫出函數(shù)y=f（x）的解析式嗎？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=sin（x+φ）在[-
3π
4
，
π
4
]上單調遞增，則φ可以是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)g（x）=ax2-2ax+1+b（a≠0，b＜1）在 x∈[2，3]上有最大值4，最小值1，設f（x）=
g(x)
x
．
（1）求a，b的值；
（2）在[-1，1]上，都有f（2x）-k•2x≥0成立，則k的取值范圍．

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