Question

設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）

|lgx|，x＞0 -x 2-2x，x≤0

，若關(guān)于x的方程2f²（x）+2bf（x）+1=0有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則b的取值范圍是

-1.5＜b＜-

2

．

Answer 1

分析：題中原方程2f²（x）+2bf（x）+1=0有8個(gè)不同實(shí)數(shù)解，即要求對(duì)應(yīng)于f（x）=某個(gè)常數(shù)K，有2個(gè)不同的K，再根據(jù)函數(shù)對(duì)應(yīng)法則，每一個(gè)常數(shù)可以找到4個(gè)x與之對(duì)應(yīng)，就出現(xiàn)了8個(gè)不同實(shí)數(shù)解
故先根據(jù)題意作出f（x）的簡(jiǎn)圖：
由圖可知，只有滿(mǎn)足條件的K在開(kāi)區(qū)間（0，1）時(shí)符合題意．再根據(jù)一元二次方程根的分布理論可以得出答案．

解答：解：根據(jù)題意作出f（x）的簡(jiǎn)圖：
由圖象可得當(dāng)f（x）∈（0，1）時(shí)，有四個(gè)不同的x與f（x）對(duì)應(yīng)．再結(jié)合題中“方程2f²（x）+2bf（x）+1=0有8個(gè)不同實(shí)數(shù)解“，可以分解為形如關(guān)于K的方程2k²+2bK+1=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根K₁、K_²，且K₁和K_²均為大于0且小于1的實(shí)數(shù)．
列式如下：

△=4b2-8＞0 0＜K1+K2＜2 K1•K2＞0 (K1-1) (K2-1)＞0

，即

b2＞2 0＜-b＜2 b＞- 3 2

，可得-1.5＜b＜-

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故答案為：-1.5＜b＜-

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點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象與一元二次方程根的分布的知識(shí)，屬于難題，采用數(shù)形結(jié)合的方法解決，使本題變得易于理解．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷．