【題目】已知直線l:y=3x+3,求:
(1)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)坐標(biāo);
(2)直線l1:y=x-2關(guān)于直線l的對稱直線的方程;
(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(3,2)的對稱直線的方程.
【答案】(1) P′(-2,7);(2) 7x+y+22=0;(3) 3x-y-17=0.
【解析】試題分析:(1) 設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為P′(x′,y′),則線段PP′的中點(diǎn)M在直線l上,且直線PP′垂直于直線l,列出方程組求出坐標(biāo)即可;(2)法一:聯(lián)立兩直線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo); 在直線l1:x-y-2=0上任取一點(diǎn)(2,0),過點(diǎn)(2,0)與直線l:3x-y+3=0垂直的直線方程為x+3y=2,聯(lián)立兩直線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo);根據(jù)兩個交點(diǎn)坐標(biāo)利用兩點(diǎn)式方程寫出直線;法二: 在直線l1上任取一點(diǎn)P(x1,y1),根據(jù)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為Q(x′,y′), 列出方程組把P點(diǎn)坐標(biāo)用x′,y′表示,又點(diǎn)P在直線l1上運(yùn)動,代入整理即可;(3) 設(shè)直線l關(guān)于點(diǎn)A(3,2)的對稱直線為l′,根據(jù)直線平行設(shè)出方程, 任取y=3x+3上的一點(diǎn)(0,3),則該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A(3,2)的對稱點(diǎn)一定在直線l′上,將解出的對稱點(diǎn)代入直線方程,求出縱截距,可得直線方程.
試題解析:
(1)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為P′(x′,y′),則線段PP′的中點(diǎn)M在直線l上,且直線PP′垂直于直線l,
即解得.
所以P′(-2,7).
(2)法一:聯(lián)立方程組解得
所以直線l1與l的交點(diǎn)為.
在直線l1:x-y-2=0上任取一點(diǎn)(2,0),過點(diǎn)(2,0)與直線l:3x-y+3=0垂直的直線方程為x+3y=2.
設(shè)直線x+3y=2與直線l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),
則解得
即交點(diǎn)坐標(biāo)為.
又點(diǎn)(2,0)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為,
所以過兩點(diǎn),的直線方程為=,整理,得7x+y+22=0.
則所求直線方程為7x+y+22=0.
法二:在直線l1上任取一點(diǎn)P(x1,y1)(P∈l1),設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為Q(x′,y′),則
解得
又點(diǎn)P在直線l1上運(yùn)動,所以x1-y1-2=0.
所以--2=0,
即 7x′+y′+22=0.
所以所求直線方程為7x+y+22=0.
(3)設(shè)直線l關(guān)于點(diǎn)A(3,2)的對稱直線為l′,
由l∥l′,設(shè)l′:y′=3x′+b.
任取y=3x+3上的一點(diǎn)(0,3),則該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A(3,2)的對稱點(diǎn)一定在直線l′上,設(shè)其對稱點(diǎn)為(x′,y′).
則解得
代入y′=3x′+b,得b=-17.
故直線l′的方程為y′=3x′-17,
即所求直線的方程為3x-y-17=0.
點(diǎn)睛: 三種對稱(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱:點(diǎn)P(x0,y0)關(guān)于A(a,b)的對稱點(diǎn)為P′(2a-x0,2b-y0).(2)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱:設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)關(guān)于直線y=kx+b的對稱點(diǎn)P′(x′,y′),
則有兩直線斜率乘積為-1,且兩點(diǎn)中點(diǎn)在直線上,可求出x′,y′.(3)直線關(guān)于直線的對稱:①若直線l1與對稱軸l相交,則交點(diǎn)必在與l1對稱的直線l2上,然后再求出l1上任一個已知點(diǎn)P1關(guān)于對稱軸l對稱的點(diǎn)P2,那么經(jīng)過交點(diǎn)及點(diǎn)P2的直線就是l2;②若直線l1與對稱軸l平行,則與l1對稱的直線和l1分別到直線l的距離相等,由平行直線系和兩條平行線間的距離即可求出l1的對稱直線.
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