Question

4．F₁、F₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)，Q是橢圓上任一點(diǎn)，過(guò)一焦點(diǎn)引∠F₁QF₂的外角平分線的垂線，則垂足M的軌跡為（　�。�

• A． 圓
• B． 橢圓
• C． 雙曲線
• D． 拋物線

Answer 1

分析 根據(jù)題意，延長(zhǎng)F₁M，與F₂MQ的延長(zhǎng)線交于B點(diǎn)，連接MO．根據(jù)等腰三角形“三線合一”和三角形中位線定理，結(jié)合橢圓的定義證出OM的長(zhǎng)恰好等于橢圓的長(zhǎng)半軸a，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x²+y²=a²，由此可得本題答案．

解答 解：如圖所示，延長(zhǎng)F₁M，與F₂MQ的延長(zhǎng)線交于B點(diǎn)，連接MO，
∵M(jìn)Q是∠F₁QB的平分線，且QM⊥BF₁
∴△F₁QB中，|QF₁|=|BQ|且Q為BF₁的中點(diǎn)
由三角形中位線定理，得|OM|=$\frac{1}{2}$|BF₂|=$\frac{1}{2}$（|BQ|+|QF₂|）
∵由橢圓的定義，得|QF₁|+|QF₂|=2a，（2a是橢圓的長(zhǎng)軸）
可得|BQ|+|QF₂|=2a，
∴|OM=a，可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x²+y²=a²
為以原點(diǎn)為圓心半徑為a的圓
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題在橢圓中求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡，著重考查了橢圓的定義、等腰三角形的判定和三角形中位線定理等知識(shí)，屬于中檔題．