Question

設數(shù)列{a_n}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a₁=2，a₃=2a₂+6．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得2q²=4q+6，且q＞0，由此能求出a_n=2•3^n-1．
（2）a_nb_n=（4n-2）•3^n-1，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{a_nb_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a₁=2，a₃=2a₂+6，
∴2q²=4q+6，且q＞0，
解得q=3，
∴a_n=2•3^n-1．
（2）∵數(shù)列{b_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1，
∴a_nb_n=（4n-2）•3^n-1，
∴S_n=2•3⁰+6•3+10•3²+…+（4n-2）•3^n-1，①
3S_n=2•3+6•3²+10•3³+…+（4n-2）•3ⁿ，②
①-②，得：
-2S_n=2+4（3+3²+…+3^n-1）-（4n-2）•3ⁿ
=2+4×

3(1-3n-1)

1-3

-（4n-2）•3ⁿ
=2+6•3^n-1-6-（4n-2）•3ⁿ
=-4-（4n-4）•3ⁿ，
∴Sn=(2n-2)•3n+2．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．