【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓過點(diǎn)，且離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線的斜率為，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，求的面積的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由橢圓的離心率可得出，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得出和的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由求出的范圍，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式計(jì)算出，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出的高，然后利用三角形的面積公式結(jié)合基本不等式可求出該三角形面積的最大值.

（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，.

則橢圓的方程可化為，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程得，可得，，

因此，橢圓的方程為；

（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，

將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，

消去，整理得，，得.

由韋達(dá)定理得，.

則，

直線的一般方程為，點(diǎn)到直線的距離為，

所以，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，

因此，面積的最大值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知多面體中，，平面，，，，.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在菱形中，，，對角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在，上，滿足，交于點(diǎn).將沿折到的位置， .

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求與平面所成的角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本，并稱出它們的重量（單位：克），重量值落在內(nèi)的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品.

注：表1是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表，圖1是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.

產(chǎn)品重量（克）

頻數(shù)

6

8

14

8

4

（1）根據(jù)上面表1中的數(shù)據(jù)在圖2中作出甲流水線樣本的頻率分布直方圖；

（2）若以頻率作為概率，試估計(jì)從兩條流水線上分別任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率分別是多少；

（3）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并回答有多大的把握認(rèn)為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動(dòng)包裝流水線的選擇有關(guān).

甲流水線

乙流水線

合計(jì)

合格

不合格

合計(jì)

參考公式：，其中

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】目前，新冠病毒引發(fā)的肺炎疫情在全球肆虐，為了解新冠肺炎傳播途徑，采取有效防控措施，某醫(yī)院組織專家統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)500名患者新冠病毒潛伏期的相關(guān)信息，數(shù)據(jù)經(jīng)過匯總整理得到如圖所示的頻率分布直方圖（用頻率作為概率）.潛伏期低于平均數(shù)的患者，稱為“短潛伏者”，潛伏期不低于平均數(shù)的患者，稱為“長潛伏者”.

（1）求這500名患者潛伏期的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），并計(jì)算出這500名患者中“長潛伏者”的人數(shù)；

（2）為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否高于平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述500名患者中抽取300人，得到如下列聯(lián)表，請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為潛伏期長短與患者年齡有關(guān)；

短潛伏者

長潛伏者

合計(jì)

60歲及以上

90

60歲以下

140

合計(jì)

300

附表及公式：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了研究經(jīng)常使用手機(jī)是否對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績有影響，某校高二數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了調(diào)查，隨機(jī)抽取高二年級50名學(xué)生的一次數(shù)學(xué)單元測試成績，并制成下面的2×2列聯(lián)表：

及格

不及格

合計(jì)

很少使用手機(jī)

20

5

25

經(jīng)常使用手機(jī)

10

15

25

合計(jì)

30

20

50

則有（　�。┑陌盐照J(rèn)為經(jīng)常使用手機(jī)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績有影響．

參考公式:，其中

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

A.97.5%B.99%C.99.5%D.99.9%

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義一個(gè)“希望結(jié)合”（）簡稱如下：為一個(gè)非空集合，它滿足條件“若，則”。試問：在集合中，一共有多少個(gè)“希望子集合”？請說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)距離的2倍；曲線是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)的拋物線．

（1）求的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相交于兩點(diǎn)，分別以為切點(diǎn)引曲線的兩條切線，設(shè)相交于點(diǎn)，連接的直線交曲線于兩點(diǎn)，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色、相鄰區(qū)域顏色不同，則區(qū)域不同涂色的方法種數(shù)為（ ）

A.360B.400C.420D.480

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