Question

6．若函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x+2）=f（x），且x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=1-x²．函數(shù)$g（x）=\left\{\begin{array}{l}lgx，x＞0\\|\frac{1}{2}x+2|，x≤0\end{array}\right.$，則函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間[-5，5]內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 已知函數(shù)偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），可知f（x）周期為2，且x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=1-x²，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)畫出f（x）的圖象，根據(jù)分段函數(shù)$g（x）=\left\{\begin{array}{l}lgx，x＞0\\|\frac{1}{2}x+2|，x≤0\end{array}\right.$，畫出g（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求出函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間[-5，5]內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

解答 解：在R上的函數(shù)偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），可知f（x）周期為2，
x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=1-x²，
故函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：
函數(shù)$g（x）=\left\{\begin{array}{l}lgx，x＞0\\|\frac{1}{2}x+2|，x≤0\end{array}\right.$的圖象如下圖所示：
函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間[-5，5]內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即為f（x）=g（x）時(shí)的交點(diǎn)，

由上圖可知f（x）與g（x）有8個(gè)交點(diǎn)，
∴h（x）在區(qū)間[-5，5]內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為8個(gè)，
故選：C

點(diǎn)評 此題主要考查偶函數(shù)的性質(zhì)，以及零點(diǎn)定理的應(yīng)用，解題的過程中用到了數(shù)形結(jié)合的方法，這也是高考常考的熱點(diǎn)問題，此題是一道中檔題．